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作文豹

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作文豹 诞生于中国文房四宝之乡宣城的作文品牌。创始人丁延清。总校编辑出版“作文豹”系列作文教材、《作文豹》杂志。感兴趣的研究课题:少先队教育学、儿童文学研究、中小学作文教学、培训品牌管理、德鲁克管理学、特劳特和里斯定位理论、世界语、教育培训机构咨询。

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【引用】高中数学解题基本方法  

2011-01-21 17:44:50|  分类: 为儿子收集的文章 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自理综老师《高中数学解题基本方法》
 

高中数学解题基本方法

 

 常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、定义法、数学归纳法、参数法、反证法、消去法、特殊与一般法、

类比与归纳法、观察与实验法

数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等;

数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等;

常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想等。

 

★★★★★★一、配方法★★★★★★

 

合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、

二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

基本公式(a+b) =a +2ab+b ,灵活运用如下:               

a +b =(a+b) -2ab=(a-b) +2ab;                        

a +b +c +ab+bc+ca= [(a+b) +(b+c) +(c+a) ]

a +b +c =(a+b+c) -2(ab+bc+ca)=(a+b-c) -2(ab-bc-ca)

结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:

1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα) ;               x + =(x+ ) -2=(x- ) +2 ;

Ⅰ、再现性题组:

★1. 在正项等比数列{a }中,a sa +2a sa +a ?a =25,则 a +a =_______。

★2. 方程x +y -4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。

    A. <k<1       B. k< 或k>1      C. k∈R        D. k= 或k=1

★3. 已知sin α+cos α=1,则sinα+cosα的值为______。

    A. 1          B.  -1         C. 1或-1       D. 0

★4. 函数y=log  (-2x +5x+3)的单调递增区间是_____。

    A. (-∞, ]      B.  [ ,+∞)      C.  (- , ]      D. [ ,3)

★5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的两根x 、x ,则点P(x ,x )在圆x +y =4上,则实数a=_____。

★6.实数x、y满足x +2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。

【简解】1小题:利用等比数列性质a a =a ,将已知等式左边后配方(a +a ) 易求。答案是:5。 

2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a) +(y-b) =r ,解r >0即可,选B。

3小题:已知等式经配方成(sin α+cos α) -2sin αcos α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。

4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。

5小题:答案3- 。                 6小题: , 所以x+y≥1或x+y≤-1;

Ⅱ、示范性题组:

★例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,得: 。

长方体所求对角线长为: = = =5

★例2. 设方程x +kx+2=0的两实根为p、q,若( ) +( ) ≤7成立,求实数k的取值范围。

【解】由韦达定理得:p+q=-k,pq=2 ,

( ) +( ) = = = = ≤7,

 解得k≤- 或k≥  。                     又△=k -8≥0即k≥2 或k≤-2

综合起来,k的取值范围是:- ≤k≤-  或 ≤k≤ 。    【韦达定理的前提:△≥0】

 

★★★★★★二、换元法★★★★★★

 

①局部换元:例如:4 +2 -2≥0,先设2 =t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式的问题。

②三角换元:应用于去根号,如求函数y= + 的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sin α ,α∈[0, ],问题变成了熟悉的求三角函数值域。        如变量x、y适合条件x +y =r (r>0)时,则可作三角代换

x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。【可设圆x +y =r (r>0)上点坐标为(rcosθ,rsinθ)】

③均值换元:如遇到x+y=S形式时,设x= +t,y= -t等等。

使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注意新变量范围的确定。

Ⅰ、再现性题组:

★1.y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值是_________。

★2.设f(x +1)=log (4-x )  (a>1),则f(x)的值域是_______________。

★3.已知数列{a }中,a =-1,a ·a =a -a ,则数列通项a =___________。

★4.方程 =3的解是_______________。

★5.不等式log (2 -1) ·log (2 -2)<2  的解集是_______________。

【简解】1小题:设sinx+cosx=t∈[- , ],则y= +t- ,对称轴t=-1,当t= ,y = + ;

2小题:设x +1=t (t≥1),  则f(t)=log [4-(t-1) ],所以值域为(-∞,log 4];

3小题:已知变形为 - =-1,设b = ,则b =-1,b =-1+(n-1)(-1)=-n,所以a =- ;

4小题:设3 =y,则3y +2y-1=0, 解得y= ,所以x=-1;

5小题:设log (2 -1)=y,则y(y+1) <2,解得-2<y<1, 所以x∈(log ,log 3)。

Ⅱ、示范性题组:

★例1. 实数x、y满足4x -5xy+4y =5   ( ①式) ,设S=x +y ,求 + 的值。

【解】设 代入①式得:  4S-5S·sinαcosα=5   解得 S=  ;

∵ -1≤sin2α≤1  ∴  3≤8-5sin2α≤13   ∴ ≤ ≤     ∴ + = + = =

此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2α= 的有界性而求,即解不等式:| |≤1。

【另解】由S=x +y ,设x = +t,y = -t,t∈[- , ],

则xy=± 代入①式得:4S±5 =5,  移项平方整理得  100t +39S -160S+100=0 。

∴  39S -160S+100≤0  解得: ≤S≤        ∴ + = + = =

★例2. △ABC的三个内角A、B、C满足:A+C=2B, + =- ,求cos 的值。(96年全国理)

【解】由△ABC中已知A+C=2B,可得 ,    由A+C=120°,设 ,代入已知等式得:
+ = + = + =

= =-2 ,           解得:cosα= ,    即:cos = 。

★例3. 设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a 的最大值和最小值。

【解】 设sinx+cosx=t,则t∈[- , ],由(sinx+cosx) =1+2sinx·cosx得:

         sinx·cosx=      ∴  f(x)=g(t)=- (t-2a) +  (a>0),t∈[- , ]  

【1】:  ∵对称轴t=2a>0, ∴ t=- 时,取最小值:-2a -2 a-   

【2】:   ①当对称轴t=2a≥ 时,t= 时取最大值:-2a +2 a-   ;

②当对称轴t=2a 时,t=2a时取最大值:   。

∴f(x)的最小值为-2a -2 a- ,             最大值为

★例4. 设对所有实数x,不等式x log +2x log +log >0恒成立,求a的取值范围。

【解】 设log =t,    则log =log =3+log =3-log =3-t,

log =2log =-2   代入后原不等式简化为(3-t)x +2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立,所以:

,解得         ∴ t<0     即log <0    0< <1,解得0<a<1。

★例5. 已知 = ,且 + =   (②式),  求 的值。

【解】 由 = =tgθ,将等式②两边同时除以 ,再表示成含tgθ的式子:1+tg θ= = tg θ,设tg θ=t,则3t —10t+3=0,  ∴t=3或 ,    解得 =± 或± 。

★例6. 实数x、y满足 + =1,若x+y-k>0恒成立,求k的范围。

【解】由 + =1,设 =cosθ, =sinθ,即:  代入不等式x+y-k>0得: 3cosθ+4sinθ-k>0,即k<3cosθ+4sinθ=5sin(θ+ψ)     所以k<-5时不等式恒成立。

【在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,经常使用“三角换元法”】


                 y
                                         x+y-k>0

 

 


本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:在平面直角坐标系,不等式ax+by+c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始终位于平面上x+y-k>0的区域。即当直线x+y-k=0在与椭圆下部相切的

切线之下时。当直线与椭圆相切时,方程组 有相等的一组实数解,消元后

由△=0可求得k=-3,所以k<-3时原不等式恒成立。                              

 

 

★★★★★★三、待定系数法★★★★★★

 

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等。

Ⅰ、再现性题组:

★1、二次不等式ax +bx+2>0的解集是(- , ),则a+b的值是_____。

A. 10      B. -10     C.  14      D. -14

★2、函数y=a-bcos3x  (b<0)的最大值为 ,最小值为- ,则y=-4asin3bx的最小正周期是_____。

★3、与直线L:2x+3y+5=0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。

★4、与双曲线x - =1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。

【简解】1小题:由不等式解集(- , ),可知- 、 是方程ax +bx+2=0的两根,代入两根,列出方程组

2小题:由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值,再代入求得答案 ;

3小题:设直线L’方程2x+3y+c=0,点A(1,-4)代入求得C=10,即得2x+3y+10=0;

4小题:设双曲线方程x - =λ,点(2,2)代入求得λ=3,即得方程 - =1。

Ⅱ、示范性题组:

★例1、已知函数y= 的最大值为7,最小值为-1,求此函数式。

【分析】对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

【解】 函数式变形为: (y-m)x -4 x+(y-n)=0, x∈R,  由已知得y-m≠0

∴ △=(-4 ) -4(y-m)(y-n)≥0  即:  y -(m+n)y+(mn-12)≤0  ①

不等式①的解集为(-1,7),则-1、7是方程y -(m+n)y+(mn-12)=0的两根,

代入两根:   解得: 或   ∴ y= 或者y=

此题也可由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,即y -6y-7≤0,与不等式①比较得: ,解出m、n。

★例2. 设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是 - ,求椭圆的方程。

【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c,则|BF’|=a


     y     B’
                    x
                     
  A  F    O’   F’  A’
   
           B


  ∴   解得:  ∴ 所求椭圆方程是: + =1

也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后,由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’,

再进行如下列式:    ,更容易求出a、b的值。

 

★★★★★★四、定义法★★★★★★

 

Ⅰ、再现性题组:

★1、已知集合A中有2个元素,集合B中有7个元素,A∪B的元素个数为n,则______。

A. 2≤n≤9     B. 7≤n≤9     C. 5≤n≤9    D. 5≤n≤7

★2、设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线,则_____。

A. MP<OM<AT      B. OM<MP<AT     C. AT<<OM<MP     D. OM<AT<MP

★3、复数z =a+2i,z =-2+i,如果|z |< |z |,则实数a的取值范围是_____。

A. -1<a<1     B.  a>1     C.  a>0      D. a<-1或a>1

★4、椭圆 + =1上有一点P,它到左准线的距离为 ,那么P点到右焦点的距离为_____。

A.  8      C.  7.5      C.         D.  3

★5、奇函数f(x)的最小正周期为T,则f(- )的值为_____。  A. T      B. 0     C.      D. 不能确定

【简解】1小题:利用并集定义,选B;                 2小题:利用三角函数线定义,作出图形,选B;

3小题:利用复数模的定义得 < ,选A;     4小题:利用椭圆的第二定义得到 =e= ,选A;

5小题:利用周期函数、奇函数的定义得到f(- )=f( )=-f(- ),选B;

Ⅱ、示范性题组:

★例1. 已知z=1+i,  ① 设w=z +3 -4,求w的三角形式;    ② 如果 =1-i,求实数a、b的值。【解】①由z=1+i,有w=z +3 -4=(1+i) +3 -4=2i+3(1-i)-4=-1-i,w的三角形式是:

(cos +isin );         ①由z=1+i,有 = =

=(a+2)-(a+b)i。   由题设条件知:(a+2)-(a+b)i=1+i;

根据复数相等的定义,得: ,解得 。

★例2. 已知f(x)=-x +cx,f(2)=-14,f(4)=-252,求y=log f(x)的定义域。

【解】   解得:    ∴ f(x)=-x +x          解f(x)>0      得:0<x<1


y
     M   F
        A      x


★例4. 求过定点M(1,2),以x轴为准线,离心率为 的椭圆的下顶点A的轨迹

方程。

【解】设A(x,y)、F(x,m),由M(1,2),则椭圆上定点M到准线距离为2,下顶点A到准线距离为y。     ,消m得:(x-1) + =1,轨迹方程为(x-1) + =1

【注】圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题,常用定义法解决;

 

★★★★★★五、参数法★★★★★★

 

①圆 的参数式坐标                  ( ) 

②圆 的参数式坐标  ( )

③椭圆 的参数式坐标                ( )

Ⅰ、再现性题组:

★2. (理)直线 上与点A(-2,3)的距离等于 的点的坐标是________。

     (文)若k<-1,则圆锥曲线x -ky =1的离心率是_________。

★3. 点Z在虚轴上移动,则复数C=z +1+2i在复平面上对应的轨迹图像为____________________。

★4. 三棱锥的三个侧面互相垂直,它们的面积分别是6、4、3,则其体积为______。

★5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,则f(x)的R上是______函数。

★6. 椭圆 + =1上的点到直线x+2y- =0的最大距离是_____。

         A.  3       B.         C.        D.  2

【简解】2小题:(理)即两点( )、(-2,3)之间的距离= ,距离公式解得t=± ,即(-4,5)或(0,1);                (文)已知曲线为椭圆,a=1,c= ,所以e=- ;

3小题:设z=bi,则C=1-b +2i,所以图像为:从(1,2)出发平行于x轴向右的射线;

4小题:设三条侧棱x、y、z,则 xy=6、 yz=4、 xz=3,所以xyz=24,体积为4。

5小题:f(0)=0,f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)是奇函数,答案:减;

6小题:设x=4cosα、y=2sinα,再求d= 的最大值,选C。

Ⅱ、示范性题组:

★例1、实数a、b、c满足a+b+c=1,求a +b +c 的最小值。

【解】由a+b+c=1,设a= +t ,b= +t ,c= +t ,其中t +t +t =0,

∴ a +b +c =( +t ) +( +t ) +( +t ) = + (t +t +t )+t +t +t

= +t +t +t ≥        所以a +b +c 的最小值是 。   【均值换元法】

【另解】a +b +c =(a+b+c) -2(ab+bc+ac)≥1-2(a +b +c ),即a +b +c ≥ 。

★例2、椭圆 + =1上有两点P、Q, O为原点。连OP、OQ,若k ·k =-  ,

 ①.求证:|OP| +|OQ| 等于定值;     ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

【分析】由“换元法”引入新的参数,即设 (椭圆参数方程),参数θ 、θ 为P、Q两点,先计算k ·k 得出一个结论,再计算|OP| +|OQ| ,并运用“参数法”求中点M的坐标,消参而得。

【解】由 + =1,设 ,  P(4cosθ ,2sinθ ),Q(4cosθ ,2sinθ ),

则k ·k = =- ,整理得:   cosθ  cosθ +sinθ  sinθ =0,即cos(θ -θ )=0。

∴|OP| +|OQ| =16cos θ +4sin θ +16cos θ +4sin θ =8+12(cos θ +cos θ )

=20+6(cos2θ +cos2θ )=20+12cos(θ +θ )cos(θ -θ )=20,      即|OP| +|OQ| 等于定值20。

由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为 ,

所以有( ) +y =2+2(cosθ  cosθ +sinθ  sinθ )=2,       即PQ的中点M的轨迹方程为 + =1。

【另解】设直线OP的斜率k,则OQ的斜率为- ,由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有:

,消y得(1+4k )x =16,即|x |= ;

  ,消y得(1+ )x =16,即|x |= ;

所以|OP| +|OQ| =( ) +( ) = =20。

【直线上两点之间的距离公式|AB|= |x -x |】

 

★★★★★★六、反证法★★★★★★

 

Ⅰ、再现性题组:

★1、已知函数f(x)在其定义域内是减函数,则方程f(x)=0 ______。

A.至多一个实根    B.至少一个实根    C.一个实根     D.无实根

★2、已知a<0,-1<b<0,那么a、ab、ab 之间的大小关系是_____。

A.  a>ab> ab     B.  ab >ab>a     C. ab>a> ab     D. ab> ab >a

【简解】1小题:从结论入手,假设四个选择项逐一成立,导出其中三个与特例矛盾,选A;

2小题:采用“特殊值法”,取a=-1、b=-0.5,选D;

Ⅱ、示范性题组:

★例.若下列方程:x +4ax-4a+3=0, x +(a-1)x+a =0, x +2ax-2a=0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

【解】 设三个方程均无实根,则有: ,     解得 ,即- <a<-1。

所以当a≥-1或a≤- 时,三个方程至少有一个方程有实根。

 

 

高中数学常用的数学思想

 

★★★★★★一、数形结合思想方法★★★★★★

 

中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何。

数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

Ⅰ、再现性题组:

★1、设命题甲:0<x<5;命题乙:|x-2|<3,那么甲是乙的_____。

A.充分非必要条件   B.必要非充分条件   C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

★2、若log 2<log 2<0,则_____。(92年全国理)

A. 0<a<b<1     B. 0<b<a<1     C. a>b>1     D. b>a>1

★3、如果|x|≤ ,那么函数f(x)=cos x+sinx的最小值是_____。 (89年全国文)

A.           B. -          C. -1            D.

★4、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5,那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)

A.增函数且最小值为-5   B.增函数且最大值为-5   C.减函数且最小值为-5    D.减函数且最大值为-5 

★5、设全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)| =1},N={(x,y)|y≠x+1},那么 等于_____。(90年全国)      A.  φ          B. {(2,3)}      C. (2,3)      D. {(x,y)|y=x+1  

★6、如果θ是第二象限的角,且满足cos -sin = ,那么 是_____。

A.第一象限角    B.第三象限角    C.可能第一象限角,也可能第三象限角    D.第二象限角

★7、已知集合E={θ|cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ|tgθ<sinθ},那么E∩F的区间是_____。(93年全国文理)

A. ( ,π)       B. ( , )      C. (π, )      D. ( , )      

★8、若复数z的辐角为 ,实部为-2 ,则z=_____。

A. -2 -2i   B. -2 +2i    C. -2 +2 i    D. -2 -2 i

★9、如果实数x、y满足等式(x-2) +y =3,那么 的最大值是_____。  (90年全国理)

A.        B.       C.          D.

★10、满足方程|z+3- i|= 的辐角主值最小的复数z是_____。

【简解】1小题:将不等式解集用数轴表示,可以看出,甲=>乙,选A;      2小题:由已知画出对数曲线,选B;

3小题:设sinx=t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值,选D;  4小题:由奇函数图像关于原点对称画出图像,选B;

5小题:将几个集合的几何意义用图形表示出来,选B;            6小题:利用单位圆确定符号及象限;选B;

7小题:利用单位圆,选A;    8小题:将复数表示在复平面上,选B;     9小题:转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题;选D;         10小题:利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案- + i。

Ⅱ、示范性题组:

★例1. 若方程lg(-x +3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解,                    求实数m的取值范围。


 y
  4            y=1-m
  1
  O    2   3     x


【解】 原方程变形为  即:

设曲线y =(x-2)  , x∈(0,3)和直线y =1-m,图像如图所示。

由图可知:

① 当1-m=0时, 有唯一解,m=1;     

②当1≤1-m<4时,有唯一解,即-3<m≤0,                                

         综上:  m=1或-3<m≤0

★例2. 直线L的方程为:x=-   (p>0),椭圆中心D(2+ ,0),焦点在x轴上,长半轴为2,短半轴为1,它的左顶点为A。问p在什么范围内取值,椭圆上有四个不同的点,它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离?

【分析】由抛物线定义,可将问题转化成:p为何值时,以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点。

【解】 由已知得:a=2,b=1, A( ,0),设椭圆与双曲线方程并联立有:

,消y得:x -(4-7p)x+(2p+ )=0  所以△=16-64p+48p >0,即6p -8p+2>0,解得:p< 或p>1。        结合范围( ,4+ )内两根,设f(x)=x -(4-7p)x+(2p+ ),所以 < <4+

即p< ,且f( )>0、f(4+ )>0     即p>-4+3 。                结合以上,所以-4+3 <p< 。

★例3. 设a、b是两个实数,A={(x,y)|x=n,y=na+b} (n∈Z),B={(x,y)|x=m,y=3m +15}  (m∈Z),C={(x,y)|x +y ≤144},讨论是否,使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)

【解】 由A∩B≠φ得:na+b=3n +15 ;      设动点(a,b)在直线L:nx+y=3n +15上,且直线与圆x +y =144有公共点,     所以圆心到直线距离d= =3( + )≥12  

∵ n为整数     ∴ 上式不能取等号,故a、b不存在。

 

★★★★★★二、分类讨论思想方法★★★★★★

 

①概念型:如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。

②性质型:如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。

③含参型:如解不等式 时分a=0、a>0和a<0三种情况讨论。

Ⅰ、再现性题组:

★1.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3|≤a,x∈R},若A B,那么a的范围是_____。

A.  0≤a≤1    B.  a≤1      C.   a<1        D.  0<a<1

★2.若a>0且a≠1,p=log (a +a+1),q=log (a +a+1),则p、q的大小关系是_____。

A. p=q     B. p<q     C. p>q     D.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q

★3.函数y= + + + 的值域是_________。

★4.函数y=x+ 的值域是_____。   A.  [2,+∞)      B. (-∞,-2]∪[2,+∞)    C. (-∞,+∞)     D. [-2,2]

★5.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形,则它的体积为_____。

A.       B.         C.        D. 或

★6.过点P(2,3),且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

A. 3x-2y=0     B. x+y-5=0     C. 3x-2y=0或x+y-5=0    D.不能确定

【简解】1小题:对参数a分a>0、a=0、a<0三种情况讨论,选B; 2小题:对底数a分a>1、0<a<1两种情况讨论,选C;

3小题:分x在第一、二、三、四象限等四种情况,答案{4,-2,0};  4小题:分x>0、x<0两种情况,选B;

5小题:分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况,选D;   6小题:分截距等于零、不等于零两种情况,选C。

Ⅱ、示范性题组:

★例1. 设函数f(x)=ax -2x+2,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,求实数a的取值范围。


 
  

        1     4      x

    1     4     x

 


【解】①当a>0时,f(x)=a(x- ) +2-

∴      或

∴ a≥1或 <a<1或φ      即 a> ;

②当a<0时, ,解得φ;

③当a=0时,f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6, ∴不合题意

综上,实数a的取值范围是a>  。

★例2. 设0<x<1,a>0且a≠1,比较|log (1-x)|与|log (1+x)|的大小。

【解】 ∵ 0<x<1     ∴  0<1-x<1 ,    1+x>1

①                    当0<a<1时,  log (1-x)>0,log (1+x)<0,所以
|log (1-x)|-|log (1+x)|=log (1-x)-[-log (1+x)]=log (1-x )>0;

②                    当a>1时,  log (1-x)<0,log (1+x)>0,所以
|log (1-x)|-|log (1+x)|=-log (1-x) -log (1+x)=-log (1-x )>0;

由①、②可知,|log (1-x)|>|log (1+x)|。

★例3. 解不等式 >0  (a为常数,a≠- )

【分析】含参数的不等式,参数a决定了2a+1的符号和两根-4a、6a的大小,故对参数a分四种情况a>0、a=0、- <a<0、a<- 分别加以讨论。

【解】①当a>0时,(x+4a)(x-6a)>0,解得:x<-4a或x>6a;

②当a=0时,x >0,解得:x≠0;

③当- <a<0时,(x+4a)(x-6a)>0,解得: x<6a或x>-4a;

④当a>- 时,(x+4a)(x-6a)<0,解得: 6a<x<-4a 。

综上所述,当a>0时,x<-4a或x>6a;当a=0时,x≠0;当- <a<0时,x<6a或x>-4a;当a>- 时,6a<x<-4a 。

★例4. 设a≥0,在复数集C中,解方程:z +2|z|=a 。  (90年全国高考)

【解】 设z=x+yi,  代入得 x -y +2 +2xyi=a;     ∴

①当y=0时,x +2|x|=a,解得x=±(-1+ ),所以z=±(-1+ );

②当x=0时,-y +2|y|=a,解得y=±(1± ),所以±(1± )i。

由上可得,z=±(-1+ )或±(1± )i

★例5. 在xoy平面上给定曲线y =2x,设点A(a,0),a∈R,曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a),求f(a)的函数表达式。   

【解】 设M(x,y)为曲线y =2x上任意一点,        则|MA| =(x-a) +y =(x-a) +2x=x -2(a-1)x+a

=[x-(a-1)] +(2a-1)          由于y =2x限定x≥0,所以分以下情况讨论:

①当a-1≥0时,x=a-1取最小值,即|MA} =2a-1;

②当a-1<0时,x=0取最小值,即|MA} =a ;                综上所述,有f(a)=    

 

★★★★★★三、函数与方程的思想方法★★★★★★

 

Ⅰ、再现性题组:

★1.方程lgx+x=3的解所在的区间为_____。

A.  (0,1)      B.  (1,2)     C.  (2,3)     D.  (3,+∞)

★2.如果函数f(x)=x +bx+c对于任意实数t,都有f(2+t)=f(2-t),那么_____。

A. f(2)<f(1)<f(4)    B. f(1)<f(2)<f(4)    C. f(2)<f(4)<f(1)    D. f(4)<f(2)<f(1)

★3.已知函数y=f(x)有反函数,则方程f(x)=a  (a是常数)  ______。

A.有且仅有一个实根   B.至多一个实根    C.至少一个实根   D.不同于以上结论

★4.已知等差数列的前n项和为S ,且S =S   (p≠q,p、q∈N),则S =_________。

★5.关于x的方程sin x+cosx+a=0有实根,则实数a的取值范围是__________。

★6.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°,则此棱锥的侧面积为___________。

★7. 建造一个容积为8m ,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低造价为___________。

【简解】1小题:图像法解方程,也可代入各区间的一个数(特值法或代入法),选C;

2小题:函数f(x)的对称轴为2,结合其单调性,选A;

3小题:从反面考虑,注意应用特例,选B;

4小题:利用 是关于n的一次函数,设S =S =m, =x,则( ,p)、( ,q)、(x,p+q)在同一直线上,由两点斜率相等解得x=0,则答案:0;

5小题:设cosx=t,t∈[-1,1],则a=t -t-1∈[- ,1],所以答案:[- ,1];

6小题:设高h,由体积解出h=2 ,答案:24 ;

7小题:设长x,则宽 ,造价y=4×120+4x×80+ ×80≥1760,答案:1760。

Ⅱ、示范性题组:

★例1. 设a>0,a≠1,试求方程log (x-ak)=log (x -a )有实数解的k的范围。(89年全国高考)


            y         C

 C        

 

               -ak

        -a          a          x

      


【解】采取“数形结合法”:将原方程化为:

log (x-ak)=log ,等价于

x-ak=  (x-ak>0),

设曲线C :y=x-ak,曲线C :y=  (y>0),

如图所示。由图可知,当-ak>a或-a<-ak<0时

曲线C 与C 有交点,即方程有实解。所以k的取值范围是:

k<-1或0<k<1。

【另解】原方程等价为 ,解得: ,      所以 >ak,即 -k>0,

通分得 <0,解得k<-1或0<k<1。            所以k的取值范围是:k<-1或0<k<1。

★例2. 设不等式2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。

【解】问题可变成关于m的一次不等式:(x -1)m-(2x-1)<0在[-2,2]上恒成立,

设f(m)=(x -1)m-(2x-1),      则  解得x∈( , )

【注】在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化。

★例3. 设等差数列{a }的前n项的和为S ,已知a =12,S >0,S <0 。

①.求公差d的取值范围;      ②.指出S 、S 、…、S 中哪一个值最大,并说明理由。(92年全国高考)

【解】① 由a =a +2d=12,得到a =12-2d,       所以S =12a +66d=12(12-2d)+66d=144+42d>0,

S =13a +78d=13(12-2d)+78d=156+52d<0。                    解得:- <d<-3。

② S =na + n(n-1)d=n(12-2d)+ n(n-1)d

= [n- (5- )] - [ (5- )]         因为d<0,故[n- (5- )] 最小时,S 最大。

由- <d<-3得     6< (5- )<6.5,      故正整数n=6时[n- (5- )] 最小,所以S 最大。

★例6. 若(z-x)  -4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z成等差数列。

【证明】①当x=y时,可得x=z,  ∴x、y、z成等差数列;

②当x≠y时,设方程(x-y)t -(z-x)t+(y-z)=0,由△=0得t =t ,并易知t=1是方程的根。

∴t ·t = =1  ,  即2y=x+z ,    ∴x、y、z成等差数列

【注】如果具备b -4ac≥0或b -4ac≤0的形式,可以利用根的判别式构造一元二次方程。

 

★★★★★★四、等价转化思想方法★★★★★★

 

即恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想。

Ⅰ、再现性题组:

★1. f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于_____。

      A. 0.5      B. -0.5      C.  1.5       D. -1.5

★2. 若m、n、p、q∈R且m +n =a,p +q =b,ab≠0,则mp+nq的最大值是______。

      A.      B.       C.         D.

★3. 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值为______。

       A.  1     B.      C.  2     D.

★4. 设椭圆 + =1 (a>b>0)的半焦距为c,直线l过(0,a)和(b,0),已知原点到l的距离等于 c,则椭圆的离心率为_____。          A.       B.        C.         D.

【简解】1小题:由已知转化为周期为2,所以f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5),选B;

2小题:由mp+nq≤ + 容易求解,选A;

3小题:由复数模几何意义利用数形结合法求解,选A;

4小题:ab= × ,变形为12e -31e +7=0,再解出e,选B;

Ⅱ、示范性题组:

★例1. 若x、y、z∈R 且x+y+z=1,求( -1)( -1)( -1)的最小值。

【解】( -1)( -1)( -1)= (1-x)(1-y)(1-z)= (1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz)

= (xy+yz+zx-xyz)= + + -1     ≥3 -1= -1    ≥ -1=9

★例2. 设x、y∈R且3x +2y =6x,求x +y 的范围。

【解】由6x-3x =2y ≥0得0≤x≤2。       设k=x +y ,则y =k-x ,代入已知等式得:x -6x+2k=0  ,

即k=- x +3x,其对称轴为x=3。  由0≤x≤2得k∈[0,4]。         所以x +y 的范围是:0≤x +y ≤4。

【另解】数形结合法(转化为解析几何问题):

由3x +2y =6x得(x-1) + =1,即表示椭圆,其一个顶点在坐标原点。x +y 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。    由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x +y =k,代入椭圆中消y得x -6x+2k=0。  由判别式△=36-8k=0得k=4,    所以x +y 的范围是:0≤x +y ≤4。

【再解】三角换元法,对已知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题):

由3x +2y =6x得(x-1) + =1,设 ,  则x +y =1+2cosα+cos α+ sin α

=1+ +2cosα- cos α    =- cos α+2cosα+ ∈[0,4]    所以x +y 的范围是:0≤x +y ≤4。

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